標準差（Standard Deviation）是統計上衡量「資料有多分散」的數字，在投資裡用來衡量報酬的波動。很多理論假設報酬是常態分配：一個標準差內約 68%、兩個標準差內約 95%、超過三個標準差幾乎不會發生。但實際數據顯示，股市的極端漲跌比常態分配預期的多出好幾倍，這叫「肥尾」。
- 一句話定義
- 衡量一組數據偏離平均值程度的統計量；在投資中代表報酬率的波動大小。
- 英文／縮寫
- Standard Deviation（σ）
- 分類
- 風險與報酬・統計
怎麼計算？
- 算出報酬率的平均值。
- 每一筆報酬減去平均值，再平方。
- 把這些平方加總、除以筆數減 1，得到變異數。
- 開根號，就是標準差。
台股加權指數 1998 年以來的日報酬，平均每天 0.034%，標準差 1.35%；換算成年化約 21%，就是波動度。
數據：股市報酬真的是常態分配嗎？
| 常態分配的預期 | 台股加權指數（1998 年起） | S&P 500（1990 年起） | |
|---|---|---|---|
| 交易日數 | 7,054 | 9,266 | |
| 落在平均 ±1 個標準差內 | 68.3% | 77.3% | 79.0% |
| 落在平均 ±2 個標準差內 | 95.4% | 94.1% | 95.1% |
| 超過 3 個標準差的天數 | 19 天（台股）／25 天（美股） | 119 天 | 143 天 |
| 超過 4 個標準差的天數 | 不到 1 天 | 37 天 | 60 天 |
| 超過 5 個標準差的天數 | 幾乎為 0 | 4 天 | 31 天 |
| 最極端的一天 | 2025-04-07：-9.7%（-7.2 個標準差） | 2020-03-16：-12.0%（-10.6 個標準差） |
兩個重點：
- 大部分的日子比常態分配更平靜：落在 ±1 個標準差內的比例接近 8 成，高於常態分配的 68%。
- 但極端的日子多很多：台股超過 3 個標準差的天數是常態分配預期的 6 倍；超過 4 個標準差，理論上幾十年都不到 1 天，實際卻有 37 天。S&P 500 在 2020 年 3 月 16 日疫情恐慌時單日跌了 12%，相當於 11 個標準差，在常態分配下幾乎不可能發生。
用年報酬來看：台股加權指數 28 年的平均年報酬約 11%、標準差 27%，所以「正常的一年」大約落在 −16% 到 +38% 之間（實際上有 75% 的年份落在這個範圍），最差的 2008 年跌了 46%。
使用情境
1. 估計「正常」的漲跌範圍
知道一檔資產的標準差，就能估計一年、一個月大概的漲跌範圍，判斷眼前的漲跌是正常波動還是異常。
2. 計算夏普比率、布林通道
夏普比率用標準差衡量風險；布林通道用 20 日價格的標準差畫出上下軌。
3. 預留極端情況的空間
因為肥尾的存在，風險管理不能只看「幾個標準差的機率很低」，要假設極端情況一定會發生，例如槓桿不要用到極限。
限制與常見誤區
- 低估極端風險：用常態分配估計的崩盤機率，遠低於實際。
- 上漲和下跌一視同仁：標準差不區分方向，大漲也會讓它變大。
- 會隨時間改變：波動會群聚，用過去算出的標準差可能突然失效。
在本站哪裡會用到
- 個股頁：布林通道、波動度與夏普值。
相關名詞
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